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By Olivier Debarre

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M r ∈ N et m 1 + · · · + m r m (Indication : on pourra utiliser la formule de d)). γ) Montrer que pour tout s ∈ S, on a s n ∈ Z(G). δ) Montrer que pour tout entier m 0, on a S m ⊆ S nr (Indication : on pourra procéder par récurrence sur m et démontrer les relations [x, y]n+1 = y −1 [x, y]n y[x, y] = y −1 [x, y]n−1 [x, y 2 ]y). 3 ε) En déduire que D(G) est fini (de cardinal n n ). f) On suppose dans cette question S fini. Par c), le groupe G agit par conjugaison sur S et on note K le noyau du morphisme composé D(G) → G → Bij(S).

CHAPITRE I. GROUPES 36 Les groupe abéliens simples sont les Z/pZ, avec p premier. Le théorème de Feit et Thompson (1963) affirme que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair (son ordre est même divisible par 4 grâce à l’exerc. 5). Une série infinie de groupes simples non abéliens est donnée par les groupes alternés. 1. — Pour n = 3 ou n 5, le groupe alterné An est simple. La conclusion du théorème est fausse pour n = 4. En effet, le groupe A4 contient le groupe de Klein des doubles transpositions : K = {Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, qui est distingué, puisqu’une conjugaison doit envoyer une double transposition sur une double transposition.

Soit G un groupe de type fini. Les groupes Cn (G)/Cn+1 (G) sont abéliens de type fini. Démonstration. — On a déjà remarqué que ces quotients sont abéliens. On montre par récurrence sur n qu’ils sont de type fini. Soient a 1 , . . , a r des générateurs de G. Pour n = 0, il est clair que C0 (G)/C1 (G) = G/C1 (G) est engendré par les classes de a1 , . . , ar . Supposons donc que Cn (G)/Cn+1 (G) est engendré par les classes de b 1 , . . , b s ∈ Cn (G). Nous allons montrer que Cn+1 (G)/Cn+2 (G) est engendré par les classes des [a i±1 , b ±1 ], pour j 1 i r et 1 j s.

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by Brian
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